Question

19．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0），（x，0），且1＜x₁＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论正确的是（　　）
①4a-2b+c=0
②a＜b＜0
③2a+c＞0
④2a-b+1＞0．

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①由函数图象过点（-2，0），将点（-2，0）代入到抛物线解析式即可得知①正确；②结合函数图象与x轴的交点横坐标可以得知抛物线对称轴-$\frac{1}{2}$＜-$\frac{b}{2a}$＜0，再由抛物线与y轴的交点在y轴正半轴得知a＜0，解不等式即可得知②正确；③令ax²+bx+c=0，由根与系数的关系即可得出关于$\frac{c}{a}$的不等式，解不等式得出c与a之间的关系，将其代入2a+c即可得知③正确；④由抛物线与y轴交点坐标的范围可找出c的范围，结合抛物线的图象过点（-2，0），将c换成2即可得知④正确．综上即可得出结论．

解答 解：①∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-2，0），
∴0=4a-2b+c，①正确；
②∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0），（x，0），且1＜x₁＜2，
∴抛物线的对称轴-$\frac{1}{2}$＜x=-$\frac{b}{2a}$＜0．
∵抛物线图象与x轴的两交点分别在原点两侧，与y轴的交点在y轴正半轴，
∴抛物线开口向下，即a＜0，
∵-$\frac{1}{2}$＜-$\frac{b}{2a}$＜0，
∴a＜b＜0，即②正确；
③令ax²+bx+c=0，
则方程的两个解为：1＜x₁＜2，x₂=-2，
∴$\frac{c}{a}$=x₁•x₂，即-4＜$\frac{c}{a}$＜-2，
又∵a＜0，
∴-2a＜c＜-4a，
∴2a+c＞0，即③正确；
④∵抛物线图象与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方
∴c＜2，
∵当x=-2时，y=0，即：4a-2b+c=0，
∴4a-2b+2＞0，
∴2a-b+1＞0，即D正确．
故选D．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系以及解不等式，解题的关键是依据二次函数图象与系数的关系逐条分析4条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练利用二次函数图象与系数的关系解决问题是关键．