Question

17．正方形ABCD中，点P是对角线BD的中点，过P点的直线分别交边AD，BC于M，N，EP⊥MN交边AB于点E．
（1）求证：AE=DM；
（2）△EMN是等腰直角三角形吗？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先依据正方形的性质得到AP=PD，∠EAP=∠MDP=45°，然后再证明∠APE=∠MPD，依据ASA可证明△AEP≌△DMP，依据全等三角形的性质可证明AE=MD；
（2）先证明△NBP≌△MDP，从而可得到NP=MP，然后依据线段垂直平分线的性质可得到NE=EM，依据线段垂直平分线的性质可证明EM=NE，接下来，依据HL证明△AEM≌△BNE，然后可证明∠AEM+∠NEB=90°，从而可证明MEN为等腰直角三角形．

解答 解：（1）如图连接AP．

∵点P为正方形对角线BD的中点，
∴PA=PD，∠EAP=∠MDP=45°，∠APD=90°．
∵∠EPA+∠APM=90°，∠DPM+∠MPA=90°，
∴∠APE=∠DPM．
在△AEP和△DMP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠DPM}\\{AP=DP}\\{∠EAP=∠MDP}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△DMP．
∴AE=MD．

（2）在△PBN和△PDM中$\left\{\begin{array}{l}{∠BPN=∠DPM}\\{BP=DP}\\{∠NBP=∠MDP}\end{array}\right.$，
∴MD=NB，PN=PM．
∴AE=NB．
又∵PE⊥MN，PN=PM，
∴EN=EM．
在Rt△BNE和Rt△AEM中$\left\{\begin{array}{l}{EN=EM}\\{AE=NB}\end{array}\right.$，
∴Rt△BNE≌Rt△AEM．
∴∠AEM=∠ENB．
∵∠ENB+∠BEN=90°，
∴∠AEM+∠BEN=90°．
∴∠MEN=90°．
又∵EM=EN，
∴△EMN为等腰直角三角形．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质，找出图中全等的三角形是解题的关键．