Question

12．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，△ADC和△CEB全等吗？请说明理由；
（2）聪明的小亮发现，当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，可得DE=AD+BE，请你说明其中的理由；
（3）小亮将直线MN绕点C旋转到图2的位置，发现DE、AD、BE之间存在着一个新的数量关系，请直接写出这一数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等得到∠ACD=∠BCE，证明△ADC≌△CEB即可；
（2）根据全等三角形的性质得到BE=CD，CE=AD，结合图形得到结论；
（3）与（1）的证明方法类似，证明△ADC≌△CEB即可．

解答 解：（1）△ADC≌△CEB．
理由如下：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵BE⊥MN，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{∠ADC=∠CEB=90°}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB；
（2）∵△ADC≌△CEB，
∴BE=CD，CE=AD，
∴DE=CE+CD=AD+BE；
（3）DE=AD-BE．
证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥MN，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠ECB}\\{∠ADC=∠CEB=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE．

点评 本题考查的是旋转的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意类比思想的应用．