Question

2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，有一过点C的动圆⊙O与斜边AB相切于动点P，则⊙O的半径r的最大值与最小值之差为（　　）

• A． $\frac{10}{3}$
• B． $\frac{8}{5}$
• C． $\frac{32}{15}$
• D． $\frac{25}{12}$

Answer 1

分析 直接利用圆的切线性质分别得出⊙O的半径r的最大值与最小值，进而得出答案．

解答 解：如图1，作CP⊥AB于点P，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
则AB•CP=AC•BC，
故5CP=3×4
解得：CP=$\frac{12}{5}$，
即半径最小值为：$\frac{6}{5}$，
如图2，当P与B重合时，圆最大．O在BC的垂直平分线上，过O作OD⊥BC于D，
由BD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵AB是切线，
∴∠ABO=90°，
∴∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠ABC=∠BOD，
∴$\frac{BD}{OB}$=sin∠BOD=sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴OB=$\frac{10}{3}$，即半径最大值为$\frac{10}{3}$，
⊙O的半径r的最大值与最小值之差为：$\frac{10}{3}$-$\frac{6}{5}$=$\frac{32}{15}$．
故选：C．

点评 此题主要考查了切线的性质以及勾股定理等知识，正确掌握切线的性质是解题关键．