Question

13．如图，在矩形ABCD中，AD=2$\sqrt{3}$，对角线BD=4，点E是AD上一个动点（点A与E不重合），过E作EF∥BD，交AB于F，把△AEF沿EF折叠得△CEF，设AE为x，△GEF与矩形ABCD的重叠部分的面积为y
（1）求∠ADB的度数
（2）当x为何值时，点G落在∠ABC的平分线上？
（3）求y与x之间的函数关系式，并求出x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）在Rt△ADB中，求出cos∠ADB的值即可解决问题．
（2）如图1中，设∠ABC的平分线交AD于M，作GH⊥AB于H．由EF∥BD，推出∠AEF=∠ADB=30°，∠AFE=∠EFG=60°，推出∠GFH=60°，由AE=x，推出AF=FG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，FH=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x，GH=$\frac{1}{2}$x，由∠HBG=∠HGB=45°，推出HB=HG，可得2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x=$\frac{1}{2}$x，解方程即可．
（3）分两种情形讨论①如图2中，当点G在BC上时，重叠部分是△EFG．②如图3中，当$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜x≤2$\sqrt{3}$时，重叠部分是四边形EFHM，分别求解即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AD=2$\sqrt{3}$，BD=4，
∴∠A=90°，cos∠ADB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}$，
∴∠ADB=30°，

（2）如图1中，设∠ABC的平分线交AD于M，作GH⊥AB于H．

∵EF∥BD，
∴∠AEF=∠ADB=30°，∠AFE=∠EFG=60°，
∴∠GFH=60°，
∵AE=x，
∴AF=FG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，FH=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x，GH=$\frac{1}{2}$x，
∵∠HBG=∠HGB=45°，
∴HB=HG，
∴2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x=$\frac{1}{2}$x，
解得x=2$\sqrt{3}$-2．

（3）①如图2中，当点G在BC上时，由（2）可得$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{6}$x=2，解得x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，

当0＜x≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$时，S=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²．
②如图3中，当$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜x≤2$\sqrt{3}$时，重叠部分是四边形EFHM，

S=S_△EFG-S_△HMG=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{1}{2}$•[$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2（2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）]•$\frac{\sqrt{3}}{3}$•[$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2（2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）]=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+4x-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}}&{（0＜x≤\frac{4\sqrt{3}}{3}）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+4x-\frac{8\sqrt{3}}{3}}&{（\frac{4\sqrt{3}}{3}＜x≤2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查坐标系综合题、翻折变换、三角形的面积、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程，属于中考压轴题．