Question

7．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=2$\sqrt{3}$，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求$\widehat{EF}$的长度；
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理由OC⊥DE得EC=$\frac{1}{2}$DE=$\sqrt{3}$，由弦DE垂直平分半径OA得OC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OE，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠E=30°，OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CE=1，所以OE=2；
（2）连结OF，BF，BE，作BH⊥DF于H，如图，根据圆周角定理得∠EOF=2∠EPF=90°；
（3））根据扇形面积公式和图中阴影部分的面积=S_扇形EOF-S_△OEF计算得到S_阴影=π-2．

解答 解：（1）∵OC⊥DE，
∴DC=EC=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∵弦DE垂直平分半径OA，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OE，
在Rt△OCE中，∵OE=2OC，
∴∠E=30°，
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CE=1，
∴OE=2，
即⊙O的半径为2；
（2）连结OF，如图，
∵∠DPA=45°，
∴∠DDC=45°，
∴∠EOF=2∠EPF=90°，
∴$\widehat{EF}$的长度=$\frac{90•π×2}{180}$=π；

（3）图中阴影部分的面积=S_扇形EOF-S_△OEF
=$\frac{1}{2}$×π×2-$\frac{1}{2}$•2•2
=π-2．

点评 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．