Question

8．如图，点O是直线EP上一点，射线OA，OB，OC在直线EF的上方，射线OD在直线EF的下方，且OF平分∠COD，OA⊥OC，OB⊥OD．
（1）若∠DOF=30°，求∠AOB的度数；
（2）若OA平分∠BOE，则∠DOF的度数是30°（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）利用角平分线定理得到∠COD=2∠DOF=60°，再利用垂直定义得到∠BOD=90°，则∠BOC=30°，接着由OA⊥OC得到∠AOC=90°，然后利用互余计算∠AOB的度数；
（2）由角平分线定义得到∠AOB=∠AOE，再利用等角的余角相等得到∠BOC=∠COF，加上∠COF=∠DOF，于是得到∠DOF=$\frac{1}{3}$∠BOD=30°．

解答 解：（1）∵OF平分∠COD，
∴∠COD=2∠DOF=60°，
∵OB⊥OD，
∴∠BOD=90°，
∴∠BOC=90°-60°=30°，
∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOB=90°-30°=60°；
（2）∵OA平分∠BOE，
∴∠AOB=∠AOE，
∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∴∠BOC=90°-∠AOB，∠COF=90°-∠AOE，
∴∠BOC=∠COF，
∵OF平分∠COD，
∴∠COF=∠DOF，
∴∠DOF=$\frac{1}{3}$∠BOD=$\frac{1}{3}$×90°=30°．
故答案为30°．

点评 本题考查了垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．也考查了角平分线的定义和邻补角．