Question

4．已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A-B，B-C以及90°-A中的最小者，则a的最大值为15°．

Answer 1

分析 先根据条件得出A-B≥α，B-C≥α，90°-A≥α，将此三个式子利用不等式的性质进行化简，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．

解答 解：∵a表示A-B，B-C以及90°-A中的最小者，
∴A-B≥α，B-C≥α，90°-A≥α，
∴2（A-B）≥2α，3（90°-A）≥3α，
∴2（A-B）+（B-C）+3（90°-A）≥2α+α+3α，
∴270°-（A+B+C）≥6α，
∵锐角三角形ABC的三个内角A、B、C，
∴A+B+C=180°，
∴6α≤90°，
∴α≤15°，
而当A-B=B-C=90°-A=15°，得
A=75°，B=60°，C=45°，满足题设条件，
所以，α可取得最大值15°，
故答案为15°．

点评 此题主要考查了不等式的性质，三角形的内角和定理，解本题的关键是得出A-B≥α，B-C≥α，90°-A≥α，难点是这三个式子的处理．