Question

10．如图，点E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在AD上，CF交AE于点G，且∠CGE=45°，AE=$\sqrt{5}$，则CF的长为$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 连接AC，作FM⊥AC于M，首先证明△ADE∽△CMF得到CM=2FM，设AM=FM=a，列出方程求出a，即可解决问题．

解答 解：连接AC，作FM⊥AC于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠D=∠BAD=90°，∠DAC=45°，
∵∠AMF=90°，
∴∠MAF=∠MFA=45°，
∴AM=FM．设AM=FM=a，AD=2b．则DE=EC=b，
在RT△ADE中，∵AD²+DE²=AE²，
∴5=5b²，
∵b＞0，
∴b=1，AD=2，DE=1，
∵∠EGC=∠GAC+∠GCA=45°，∠GAC+∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FCM，
∵∠FMC=∠ADE=90°，
∴△ADE∽△CMF，
∴$\frac{AD}{CM}$=$\frac{DE}{FM}$，
∴$\frac{CM}{FM}$=$\frac{AD}{DE}$=2，
∴CM=2FM，
∴2$\sqrt{2}$-a=2a，
∴a=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$，
∴FM=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$，CM=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，
∴CF=$\sqrt{C{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}+（\frac{4\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$．
故答案为$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形，属于中考常考题型．