题目内容

8．已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，已知点H的坐标为（0，1），设点M为y轴左侧抛物线上的一个动点，试猜想：是否存在这样的点M，使|MA-MH|的值最大，如果存在，请求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，过x轴上点E（-2，0）作ED⊥AB交抛物线于点D，在y轴上找一点F，使△EDF的周长最小，求出此时点F的坐标；
（4）如图3，已知点N（0，-1）．问在抛物线上是否存在点Q（点Q在y轴的左侧），使得△QNC的面积与△QNA的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析 （1）由抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3），利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）作直线AH，与抛物线的交点M即为所求；此时|MA-MH|的值最大，根据待定系数法求得直线AH的解析式，然后和抛物线解析式联立方程，解方程即可求得M点的坐标；
（3）找出E点关于y轴的对称点E′（2，0），连接DE′交y轴于F，此时，EF+DF=E′F+DF=E′D，根据DE是定值，所以此时△EDF的周长最小，根据待定系数法求得直线DE′的解析式，然后令x=0，即可求得F的坐标；
（4）分别从QN∥AC与QN与AC不平行去分析，注意先求得直线QN的解析式，根据交点问题即可求得答案，小心不要漏解；

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+2+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-3；

（2）存在，
如图1，作直线AH，与抛物线的交点M即为所求；此时|MA-MH|的值最大，
设直线AH的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AH的解析式为y=-x+1，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y={x}^{2}+2x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∵点M在y轴左侧，
∴M（-4，5）；
（3）如图2，找出E点关于y轴的对称点E′（2，0），
连接DE′交y轴于F，此时，EF+DF=E′F+DF=E′D，
∵点E（-2，0），ED⊥AB交抛物线于点D，
∴D的横坐标为-2，代入y=x2+2x-3得y=4-4-3=-3，
∴D（-2，-3），
∴DE=3是定值，
∴此时△EDF的周长最小，
设直线DE′的解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=-3}\\{2m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{4}}\\{n=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$，
令x=0，则y=-$\frac{3}{2}$，
∴F（0，-$\frac{3}{2}$）；
（4）存在；
如图①，当QN∥AC时，点A，点C到QN的距离相等，
∴S△QNC=S△QNA，
∵A（1，0），C（0，-3）．
∴AC的解析式为y=3x-3，
∵QN∥AC，N（0，-1），
∴QN的解析式为y=3x-1，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-1}\\{y={x}^{2}+2x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴Q（-1，-4）；
如图②，当QN与AC不平行时，
∵点A，C到直线QN的距离相等，
∴直线QN过线段AC的中点M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．
∴直线QN的解析式为y=-x-1，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y={x}^{2}+2x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴Q（-$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），
∴存在点Q（-$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）或（-1，-4）．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，直线与二次函数的交点问题以及三角形面积问题的求解等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用

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