Question

13．如图，点N是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，（不与点A，B重合），AB=4，M是OA的中点，设线段MN的长为x，△MNO的面积为y，那么下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 先求出自变量x的取值范围是1＜x＜3，得出B选项错误；再连结AN，BN，过点N作NP⊥AB于P，求出y与x的函数关系式为y=$\frac{\sqrt{-（{x}^{2}-5）^{2}+16}}{4}$，进而判断D选项正确．

解答 解：∵AB=4，
∴OA=OB=2，
∵M是OA的中点，
∴OM=AM=1，
∵点N是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，（不与点A，B重合），线段MN的长为x，
∴1＜x＜3，故B选项错误；
连结AN，BN，过点N作NP⊥AB于P，∠ANB=90°，
设PM=a，则AP=1-a，BP=a+3．
易证△ANP∽△NBP，
∴$\frac{NP}{BP}$=$\frac{AP}{NP}$，
∴NP²=AP•BP=（1-a）（a+3）=-a²-2a+3，
∵NP²=MN²-PM²=x²-a²，
∴x²-a²=-a²-2a+3，
∴a=$\frac{3-{x}^{2}}{2}$，
∴NP²=x²-a²=x²-（$\frac{3-{x}^{2}}{2}$）²=$\frac{{-x}^{4}+10{x}^{2}-9}{4}$=$\frac{-（{x}^{2}-5）^{2}+16}{4}$，
∵y=$\frac{1}{2}$OM•NP=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{-（{x}^{2}-5）^{2}+16}}{2}$=$\frac{\sqrt{-（{x}^{2}-5）^{2}+16}}{4}$，
∴当x=$\sqrt{5}$时，NP有最大值2，此时y_最大=1．
A选项中，y与x是一次函数关系，不符合题意；
C选项中，y取最大值时，x＜2，不符合题意；
只有D选项符合题意．
故选D．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，求出y与x的函数关系式是解题的关键，有一定难度．