Question

如图，在坐标系xOy中，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，A（1，0），B（0，），抛物线的图象过C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为1：2的两部分？

Answer 1

解：（1）∵A（1，0），B（0，），

                ∴OA=1，OB=，AB=2，∠OBA=30°。

                ∵△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，

                ∴AC=，BC=4，且BC∥x轴。

如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则

∴OD=BC=4，CD=OB=。

∴C（4，）。

∵点C（4，）在抛物线上，

∴，解得：。

∴抛物线的解析式为：。

（2）。

设直线AB的解析式为y=kx+b，

∵A（1，0），B（0，），

∴，解得。

∴直线AB的解析式为。

设直线AC的解析式为y=mx+n，

∵A（1，0），C（4，），

∴，解得。

∴直线AC的解析式为。

在△CGH中，由得，即

解得或（大于4，不合题意，舍去）。

∴当直线l解析式为或时，恰好将△ABC的面积分为1：2的两部分。

【考点】二次函数综合题，动线问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，含30度直角三角形的性质，分类思想的应用。

【分析】（1）根据含30度直角三角形的性质，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式。

（2）分直线l与AB、AC分别相交两种情况讨论即可。