Question

9．如图，在等边△ABC中，P是BC下方一动点，且∠BPC=120°，PB、PC是关于x的方程（a-1）x²-9（a-1）x+b=c的两实数根，求PA的长．

Answer 1

分析 延长BP到D，使得DP=PC，连接CD．由△DBC≌△PAC，可以推出PA=PB+PC，再利用根于系数关系即可解决问题．

解答 解：延长BP到D，使得DP=PC，连接CD．
∵∠BPC=120，
∴∠CPD=60．
又∵PC=PD，
∴△PCD是等边三角形，
∴PC=CD，∠PCD=60°，
∴∠ACB+∠BCP=PCD+∠BCP，
即∠ACP=∠BCD．
∵等边三角形ABC中，
∴BC=AC．
在△DBC和△PAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CA}\\{∠BCD=∠ACP}\\{CD=CP}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△PAC，
∴AP=BD．
∵BD=BP+DP，
∴AP=BP+DP，
∵DP=PC，
∴PA=PB+PC．
∵PB、PC是关于x的方程（a-1）x²-9（a-1）x+b=c的两实数根，
∴PB+PC=9，
∴PA=9．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、根于系数关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形，学会用转化 的思想思考问题，属于中考常考题型．