Question

15．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=-x²+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：

x	…	-3	-$\frac{5}{2}$	-2	-1	0	1	2	$\frac{5}{2}$	3	…
y	…	-2	-$\frac{1}{4}$	m	2	1	2	1	-$\frac{1}{4}$	-2	…

其中m=1；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）根据函数图象，写出：
①该函数的一条性质函数图象关于y轴对称；
②直线y=kx+b经过点（-1，2），若关于x的方程-x²+2|x|+1=kx+b有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是1＜b＜2．

Answer 1

分析 （1）把x=-2代入函数解释式即可得m的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）①根据函数图象得到函数y=x²-2|x|+1的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而减少；
②根据函数的图象即可得到b的取值范围是1＜b＜2．

解答 解：（1）当x=-2时，m=-（-2）²+2×|-2|+1=-4+4+1=1．
（2）如图所示：

（3）①答案不唯一．如：函数图象关于y轴对称．
②由函数图象知：∵关于x的方程-x²+2|x|+1=kx+b有4个互不相等的实数根，
∴b的取值范围是1＜b＜2．
故答案为：1；函数图象关于y轴对称；1＜b＜2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．