Question

15．如图，抛物线y=ax²+bc+c（a＞0）的顶点为M，若△MCB为等边三角形，且点C，B在抛物线上，我们把这种抛物线称为“完美抛物线”，已知点M与点O重合，BC=2．
（1）求过点O、B、C三点完美抛物线y₁的解析式；
（2）若依次在y轴上取点M₁、M₂、…M_n分别作等边三角形及完美抛物线y₁、y₂、…y₃，其中等边三角形的相似比都是2：1，如图，n为正整数．
①则完美抛物线a，y₂=2$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$，完美抛物线y₃=4$\sqrt{3}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；完美抛物线y_n=2^n-1$\sqrt{3}$x²+$\frac{{2}^{n-1}-1}{{2}^{n-2}}$$\sqrt{3}$；
②直接写出B_n的坐标；
③判断点B₁、B₂、…、B_n是否在同一直线，若在，求出直线的解析式，若不在同一直线上，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出∠BOM₁=30°，解直角△BOM₁，得到BM₁=1，OM₁=$\sqrt{3}$，那么B（1，$\sqrt{3}$），又顶点M（0，0），利用待定系数法求出完美抛物线y₁的解析式；
（2）①由于等边三角形的相似比都是2：1，得出B₁M₂=$\frac{1}{2}$，M₂M₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，那么B₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），又M₁（0，$\sqrt{3}$），利用待定系数法求出完美抛物线y₂的解析式；同理，求出B₂（$\frac{1}{4}$，$\frac{7\sqrt{3}}{4}$），M₂（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），利用待定系数法求出完美抛物线y₃的解析式；进而得到完美抛物线y_n的解析式；
②分别求出B₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），B₂（$\frac{1}{4}$，$\frac{7\sqrt{3}}{4}$），B₃（$\frac{1}{8}$，$\frac{15\sqrt{3}}{8}$），找出横坐标与纵坐标的规律，进而得出B_n（（$\frac{1}{2}$）ⁿ，$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$+…+$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$）；
③根据B_n（（$\frac{1}{2}$）ⁿ，（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$）$\sqrt{3}$）的坐标即可得出点B₁、B₂、…、B_n都在直线y=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x上．

解答 解：（1）∵△BMC是等边三角形，BC=2，
∴∠BMC=60°，OB=BC=2，
∴∠BOM₁=30°，
∴BM₁=1，OM₁=$\sqrt{3}$，
∴B（1，$\sqrt{3}$），
∵顶点M（0，0），
∴y₁=$\sqrt{3}$x²；

（2）①∵△BMC∽△B₁M₁C₁，
∵等边三角形的相似比都是2：1，
∴B₁M₂=$\frac{1}{2}$，M₂M₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），M₁（0，$\sqrt{3}$），
∴y₂=2$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$；
同理：B₂M₃=$\frac{1}{4}$，M₃M₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴B₂（$\frac{1}{4}$，$\frac{7\sqrt{3}}{4}$），M₂（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴y₃=4$\sqrt{3}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
…
y_n=2^n-1$\sqrt{3}$x²+$\frac{{2}^{n-1}-1}{{2}^{n-2}}$$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，2^n-1$\sqrt{3}$x²+$\frac{{2}^{n-1}-1}{{2}^{n-2}}$$\sqrt{3}$；

②∵B₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），即B₁（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
B₂（$\frac{1}{4}$，$\frac{7\sqrt{3}}{4}$），即B₂（（$\frac{1}{2}$）²，$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
B₃（$\frac{1}{8}$，$\frac{15\sqrt{3}}{8}$），即B₃（（$\frac{1}{2}$）³，$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{8}$），
…
∴B_n（（$\frac{1}{2}$）ⁿ，$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$+…+$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$），
∵$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$+…+$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$=$\frac{\sqrt{3}[1-（\frac{1}{2}）^{n+1}]}{1-\frac{1}{2}}$=（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$）$\sqrt{3}$，
∴B_n（（$\frac{1}{2}$）ⁿ，（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$）$\sqrt{3}$）；

③点B₁、B₂、…、B_n是在同一直线．理由如下：
∵B_n（（$\frac{1}{2}$）ⁿ，（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$）$\sqrt{3}$），
∴点B₁、B₂、…、B_n都在直线y=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x上．

点评 本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数的性质，利用待定系数法确定抛物线的解析式，等边三角形的性质，点的坐标规律，学生的阅读理解能力以及正确运算能力与知识的归纳能力，难度适中．