Question

7．如图，点D是⊙O的直径CA延长线上的一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且∠ABE=105°，S_△BEF=8（$\sqrt{3}$-1），求△ACF的面积和CF的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件证得△ABO为等边三角形，根据三角形外角的性质可求得∠ABD=∠ADB=30°，则可求得∠OBD=90°，BD是⊙O的切线；
（2）先求得∠CAF=∠EBF=15°，进而求得∠BAF=45°，可求得sin45°=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，根据同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求得△ACF的面积，通过解直角三角形ABC和等腰三角形的性质得出BC=$\sqrt{3}$BF，得出FC=（$\sqrt{3}$-1）BF，然后根据S_△ACF=$\frac{1}{2}$CF•AB=$\frac{1}{2}$CF•BF=16（$\sqrt{3}$-1），即可求得CF的长．

解答 （1）证明：连接BO，
∵AB=AO，BO=AO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠BAO=∠ABO=60°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
又∵∠D+∠ABD=∠BAO=60°，
∴∠ABD=30°，
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ABC=90°，∠ABE=105°，
∴∠CAF=∠EBF=15°，
∵∠BAO=60°，
∴∠BAF=45°，
∴sin45°=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF，
∴△ACF∽△BEF，
∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△ACF}}$=（ $\frac{BF}{AF}$）²=$\frac{1}{2}$，
又∵S_△BEF=8（$\sqrt{3}$-1），
∴S_△ACF=16（$\sqrt{3}$-1）．
在RT△ABC中，
∵∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$AB，
∵AB=BF，
∴BC=$\sqrt{3}$BF，
∴FC=（$\sqrt{3}$-1）BF，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$CF•AB=$\frac{1}{2}$CF•BF=16（$\sqrt{3}$-1），
∴$\frac{1}{2}$CF•BF=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1）BF•BF=16（$\sqrt{3}$-1），
∴BF=4$\sqrt{2}$，
∴CF=（$\sqrt{3}$-1）×$4\sqrt{2}$=4$\sqrt{6}$-4$\sqrt{2}$．

点评 本题综合考查了圆的切线的性质、圆的性质、相似三角形的判定及性质等内容，是一个综合较强的题目，难度较大．