Question

20．如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，点D在⊙O上，且OD⊥OC，
（1）填空：∠ADB=90°°，理由是直径所对的圆周角是直角；
（2）若⊙O的半径为$\sqrt{5}$，AC=2，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）由于AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”可直接得出结论；
（2）作DE⊥OA，垂足为E由AC是⊙O的切线，得到AC⊥OA，于是得到∠ACO+∠AOC=90°，OC=$\sqrt{O{A}^{2}+C{A}^{2}}$=$\sqrt{5+4}$=3，又由于OD⊥OC，得到∠AOC+∠AOD=90°，推出△DEO∽△OAC，得到比例式求出DE=$\frac{5}{3}$，OE=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，根据勾股定理求得BD=$\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{5}}{3}+\sqrt{5}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
理由是直径所对的圆周角是直角；
故答案为：90°，直径所对的圆周角是直角；

（2）作DE⊥OA，垂足为E．
∵AC是⊙O的切线，
∴AC⊥OA，
∴∠ACO+∠AOC=90°，OC=$\sqrt{O{A}^{2}+C{A}^{2}}$=$\sqrt{5+4}$=3，
∵OD⊥OC，
∴∠AOC+∠AOD=90°，
∴∠ACO=∠AOD，
∵∠DEO=90°=∠OAC，
∴△DEO∽△OAC，
∴$\frac{DE}{OA}=\frac{DO}{OC}=\frac{OE}{CA}$，
∴$\frac{DE}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{OE}{2}$，
∴DE=$\frac{5}{3}$，OE=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴BD=$\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{5}}{3}+\sqrt{5}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，作DE⊥OA，构造直角三角形是解题的关键．