Question

9．阅读材料并解答问题：
与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，与正n边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆，设正n（n≥3）边形的面积为S_正n边形，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积．

如图①，当n=3时，设AB切⊙P于点C，连接OC，OA，OB，
∴OC⊥AB，
∴OA=OB，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，∴AB=2BC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=$\frac{1}{2}$•$\frac{360°}{3}$=60°，OC=r，
∴AC=r•tan60°，∴AB=2r•tan60°，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•r•2r•tan60°=r²tan60°，
∴S_正三角形=3S_△OAB=3r²•tan60°．
（1）如图②，当n=4时，仿照上面的方法和过程可求得：S_正四边形=4S_△OAB=4r²tan45°；
（2）如图③，当n=5时，仿照上面的方法和过程求S_正五边形；
（3）如图④，根据以上探索过程，请直接写出S_正n边形=n•r²•tan$\frac{180°}{n}$．

Answer 1

分析 （1）设AB切⊙P于点C，连接OC，OA，OB，求出∠AOC，在RT△AOC中求出AC，求出△AOB的面积即可解决问题．
（2）类似（1）．
（3）类似（1）．

解答 解：（1）如图②中，

设AB切⊙P于点C，连接OC，OA，OB
∴OC⊥AB，
∴OA=OB，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，∴AB=2BC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=$\frac{1}{2}$•$\frac{360°}{4}$=45°，OC=r，
∴AC=r•tan45°，∴AB=2r•tan45°，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•r•2r•tan60°=r²tan45°，
∴S_正四边形=4S_△OAB=4r²•tan45°．
故答案为4r²•tan45°
（2）如图③中，

设AB切⊙P于点C，连接OC，OA，OB，
∴OC⊥AB，
∴OA=OB，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，∴AB=2BC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=$\frac{1}{2}$•$\frac{360°}{5}$=36°，OC=r，
∴AC=r•tan36°，∴AB=2r•tan36°，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•r•2r•tan36°=r²tan36°，
∴S_正五边形=5S_△OAB=5r²•tan36°．
（3）如图④中，

设AB切⊙P于点C，连接OC，OA，OB，
∴OC⊥AB，
∴OA=OB，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，∴AB=2BC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=$\frac{1}{2}$•$\frac{360°}{n}$=$\frac{180°}{n}$，OC=r，
∴AC=r•tan$\frac{180°}{n}$，
∴AB=2r•tan$\frac{180°}{n}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•r•2r•tan$\frac{180°}{n}$=r²tan$\frac{180°}{n}$，
∴S_正n边形=n•S_△OAB=n•r²•tan$\frac{180°}{n}$．
故答案为n•r²•tan$\frac{180°}{n}$．

点评 本题考查圆的综合题、锐角三角函数、等腰三角形的性质、正多边形的面积等知识，解题的关键是把多边形转化为三角形，记住多边形的中心角=$\frac{360°}{n}$，学会灵活应用锐角三角函数，属于中考常考题型．