Question

14．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜$\frac{8}{5}$）．
（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为1；
（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；
（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：
①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；
②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ，再根据角平分线性质，列出方程解决问题．
（2）由△QTM∽△BCD，得$\frac{QM}{BD}$=$\frac{TQ}{BC}$列出方程即可解决．
（3）①如图2中，延长QM交CD于E，求出DE、DO利用差值比较即可解决问题．
②如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．由△OHE∽△BCD，得$\frac{OH}{BC}$=$\frac{OE}{BD}$，列出方程即可解决问题．利用反证法证明直线PM不可能由⊙O相切．

解答 （1）解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，
∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵PQ⊥BD，
∴∠BPQ=90°=∠C，
∵∠PBQ=∠DBC，
∴△PBQ∽△CBD，
∴$\frac{PB}{BC}$=$\frac{PQ}{DC}$=$\frac{BQ}{BD}$，
∴$\frac{4t}{8}$=$\frac{PQ}{6}$=$\frac{BQ}{10}$，
∴PQ=3t，BQ=5t，
∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，
∴QP=QC，
∴3t=8-5t，
∴t=1，
故答案为：1．
（补充：直接利用角平分线的性质得到DP=DC=6，BP=4，从而t=1）
（2）解：如图2中，作MT⊥BC于T．
∵MC=MQ，MT⊥CQ，
∴TC=TQ，
由（1）可知TQ=$\frac{1}{2}$（8-5t），QM=3t，
∵MQ∥BD，
∴∠MQT=∠DBC，
∵∠MTQ=∠BCD=90°，
∴△QTM∽△BCD，
∴$\frac{QM}{BD}$=$\frac{TQ}{BC}$，
∴$\frac{3t}{10}$=$\frac{\frac{1}{2}（8-5t）}{8}$，
∴t=$\frac{40}{49}$（s），
∴t=$\frac{40}{49}$s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形．

（3）①证明：如图2中，延长QM交CD于E，
∵EQ∥BD，
∴$\frac{EC}{CD}$=$\frac{CQ}{CB}$，
∴EC=$\frac{3}{4}$（8-5t），ED=DC-EC=6-$\frac{3}{4}$（8-5t）=$\frac{15}{4}$t，
∵DO=3t，
∴DE-DO=$\frac{15}{4}$t-3t=$\frac{3}{4}$t＞0，
∴点O在直线QM左侧．
②解：如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．
∵EC=$\frac{3}{4}$（8-5t），DO=3t，
∴OE=6-3t-$\frac{3}{4}$（8-5t）=$\frac{3}{4}$t，
∵OH⊥MQ，
∴∠OHE=90°，
∵∠HEO=∠CEQ，
∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，
∵∠OHE=∠C=90°，
∴△OHE∽△BCD，
∴$\frac{OH}{BC}$=$\frac{OE}{BD}$，
∴$\frac{\frac{4}{5}}{8}$=$\frac{\frac{3}{4}t}{10}$，
∴t=$\frac{4}{3}$．
∴t=$\frac{4}{3}$s时，⊙O与直线QM相切．
连接PM，假设PM与⊙O相切，则∠OMH=$\frac{1}{2}$PMQ=22.5°，
在MH上取一点F，使得MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5°，
∴∠OFH=∠FOH=45°，
∴OH=FH=$\frac{4}{5}$，FO=FM=$\frac{4}{5}$$\sqrt{2}$，
∴MH=$\frac{4}{5}$（$\sqrt{2}$+1），
由$\frac{OH}{BC}$=$\frac{HE}{DC}$得到HE=$\frac{3}{5}$，
由$\frac{EC}{BD}$=$\frac{CQ}{CB}$得到EQ=$\frac{5}{3}$，
∴MH=MQ-HE-EQ=4-$\frac{3}{5}$-$\frac{5}{3}$=$\frac{26}{15}$，
∴$\frac{4}{5}$（$\sqrt{2}$+1）≠$\frac{26}{15}$，矛盾，
∴假设不成立．
∴直线PM与⊙O不相切．

点评 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键灵活运用这些知识解决问题，学会利用方程的思想思考问题，充分利用相似三角形的性质构建方程，在最后一个问题证明中利用了反证法，属于中考压轴题．