Question

2．阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}$（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}$=k，则x=k（a-b），y=k（b-c），z=k（c-a），
∴x+y+z=k（a-b+b-c+c-a）=k•0=0，∴x+y+z=0．
依照上述方法解答下列问题：
a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$时，求$\frac{{（{a+b}）（{b+c}）（{c+a}）}}{abc}$的值．

Answer 1

分析 设$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$=k，利用比例的性质得到a+b-c=kc，aib+c=kb，-a+b+c=ka，将三式相加可以求得k=1，所以利用等量代换和约分可以求得所求代数式的值．

解答 解：设$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$=k，
所以a+b-c=kc ①，
a-b+c=kb ②，
-a+b+c=ka ③，
由①+②+③，得
a+b+c=k（a+b+c）．
∵a+b+c≠0，
∴k=1．
∴a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b．
∴$\frac{{（{a+b}）（{b+c}）（{c+a}）}}{abc}$=$\frac{2c×2a×2b}{abc}$=8．

点评 本题考查了比例的性质．解题是，涉入了一个中介k，利用比例的性质得到a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b，通过约分求得代数式的值．