Question

2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE是中线，CG平分∠ACB交BE于点G，F为AB边上一点，且∠ACF=∠CBG．
（1）求证：CF=BG；
（2）延长CG交AB于点H，判断点G是否在线段AB的垂直平分线上？并说明理由．
（3）过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，请证明：CF=2DE．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质和已知条件得出∠BCG=∠CAB=45°，由ASA证明△ACF≌△BCG，得出对应边相等即可．                         
（2）由等腰三角形的三线合一性质即可得出结论；
（3）连接AG．证出CH∥AD，得出∠D=∠EGC，由SAS证明△AED≌△CEG，得出DE=EG，即可得出即可．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠BCG=45°=∠A，
∴∠BCG=∠CAB=45°，
在△ACF和△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BCG}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠ACF=∠CBG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCG（ASA），
∴AF=CG，CF=BG．                         
（2）解：点G在线段AB的垂直平分线上，如图1所示：理由如下：
∵AC=BC，CG平分∠ACB，
∴CH⊥AB，H为AB中点，
∴点G在线段AB的垂直平分线上；
（3）证明：连接AG．如图2所示：
由（2）可知，AG=BG，∠GAB=∠GBA，
∵AD⊥AB，
∴∠GAB+∠GAD=∠GBA+∠D=90°，
∴∠GAD=∠D，
∴GA=GD=GB=CF．                                 
∵AD⊥AB，CH⊥AB
∴CH∥AD，
∴∠D=∠EGC，
∵E为AC中点，
∴AE=EC，
在△AED和△CEG中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=EG}&{\;}\\{∠AED=∠CEG}&{\;}\\{AE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CEG（SAS），
∴DE=EG，
∴DG=2DE，
∴CF=2DE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．