Question

8．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6）．点B（6，6），点C（6，0），点D是射线OA（O，A除外）上的动点，点E是O点关于直线CD的对称点，延长DE交直线AB于点F，连结CF．
（1）某探究小组发现：当点D在线段OA上时，有①EF=BF；②∠DCF=45°，请选择其中一个证明．
（2）当AD=2时，求点F的坐标．
（3）探究小组又发现：如图2．当点D在线段OA上时，射线CD、CF与射线OB分别交于点M，N，线段OM，MN，BN之间除了存在OM+MN+NB=6$\sqrt{2}$外，还存在着另外的等式关系，你能找到并写出这个等式吗？当点D不在线段OA上时，这两个等式是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明Rt△CFE≌Rt△CFB，推出EF=BF，∠FCE=∠FCB，推出∠DCF=∠DCE+∠FCE=$\frac{1}{2}$∠ECO+$\frac{1}{2}$∠ECB=$\frac{1}{2}$∠OCB=45°，由此即可解决问题；
（2）由AD=2，推出OD=DE=4，设EFF=FB=x，则AF=6-x，在Rt△ADF中，根据AD²+AF²=DF²可得2²+（6-x）²=（4+x）²，解方程即可解决问题；
（3）①如图2中，当当D在线段OA上时，结论：MN²=OM²+NB²．只要证明△CNM≌△CNP，推出MN=PN，由∠OBC=∠CBP=45°，推出∠MBP=90°，可得BN²+BP²=PN²，由此即可解决问题；
②如图3中，当点D在线段OA的延长线上时，结论不变．证明方法类似；

解答 （1）证明：如图1中，

∵O、E关于CD对称，
∴OD=DE，OC=CE=CB，∠DCE=∠DCO，
∵CF=CF，
∴Rt△CFE≌Rt△CFB，
∴EF=BF，∠FCE=∠FCB，
∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=$\frac{1}{2}$∠ECO+$\frac{1}{2}$∠ECB=$\frac{1}{2}$∠OCB=45°，
∴FE=FB，∠DCF=45°．

（2）解：如图1中，
∵AD=2，
∴OD=DE=4，设EFF=FB=x，则AF=6-x，
在Rt△ADF中，∵AD²+AF²=DF²
∴2²+（6-x）²=（4+x）²，
∴x=$\frac{6}{5}$．

（3）解：①如图2中，当当D在线段OA上时，结论：MN²=OM²+NB²．

理由：将△OCM绕点C顺时针旋转90°，得到△CBP．
∵∠DCF=45°，
∴∠OCM+∠BCN=45°，
∵∠OCM=∠BCP，
∴∠NCB+∠BCP=45°，
∴∠MCN=∠NCP，∵CN=CN，CM=CP，
∴△CNM≌△CNP，
∴MN=PN，
∵∠OBC=∠CBP=45°，
∴∠MBP=90°，
∴BN²+BP²=PN²，
∴MN²=OM²+NB²．

②如图3中，当点D在线段OA的延长线上时，第一个结论变了：OM+MN-BN=6$\sqrt{2}$．理由：OM+MN-BN=OB=6$\sqrt{2}$．
第二个结论不变，理由如下：

理由：将△OCM绕点C顺时针旋转90°，得到△CBP．
易证∠DCO=∠DCE，∠FCE=∠FCB，
∴∠DCF=∠DCE-∠FCE=$\frac{1}{2}$∠OCE-$\frac{1}{2}$∠BCE=$\frac{1}{2}$（∠OCE-∠BCE）=45°，
∴∠OCM-∠BCN=45°，
∵∠OCM=∠BCP，
∴∠NCP=∠BCP-∠BCN=45°，
∴∠MCN=∠NCP=45°，
∵CN=CN，CM=CP，
∴△CNM≌△CNP，
∴MN=PN，
∵∠OBC=∠CBP=45°，
∴∠MBP=90°，
∴BN²+BP²=PN²，
∴MN²=OM²+NB²．

点评 本题考查一次函数综合题、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、对称轴变换、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．