Question

17．已知四边形ABCD是正方形，F、E分别是DC和CB延长线上的点，且DF=BE，连接AE、AF、EF
（1）求证：△ADF≌△ABE
（2）△ABE可以看成是△ADF以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转90度得到的
（3）连BD交EF于点H，猜想AH、EF的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠ABC=∠ADF=∠BAD=90°，AB=AD，由SAS证明△ADF≌△ABE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠DAF=∠BAE，证出∠EAF=90°，即可得出答案；
（3）由全等三角形的性质得出∠EAF=90°，AE=AF，证出△AEF是等腰直角三角形，作FG⊥CD交BD于G，证出△DFG是等腰直角三角形，得出GF=DF=BE，由平行线得出△FGH∽△EBH，得出对应边成比例证出FH=EH，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADF=∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABE=90°，
在△ADF和△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}&{\;}\\{∠ADF=∠ABE}&{\;}\\{DF=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABE（SAS）．

（2）解：由（1）得△ADF≌△ABE，
∴∠DAF=∠BAE，
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠BAE+∠BAF=90°，即∠EAF=90°，
∴△ABE可以看成是△ADF以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转90度得到的；
故答案为：A，90；

（3）解：AH=$\frac{1}{2}$EF，AH⊥EF；理由如下：
由（1）得：∠EAF=90°，AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
作FG⊥CD交BD于G，如图所示：
则FG∥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠FDG=45°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴GF=DF=BE，
∵FG∥BC，
∴△FGH∽△EBH，
∴FH：EH=GF：BE=1：1，
∴FH=EH，
∴AH=$\frac{1}{2}$EF，AH⊥EF．

点评 此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．