Question

20．最近央视纪录片《航拍中国》中各地的美景震撼了全国观众，如图是航拍无人机从A点俯拍在坡比为3：4的斜坡CD上的景点C，此时的俯角为30°，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B点，此时的俯角变为45°．已知无人机与斜坡CD的坡底D的水平距离DE为400米，则斜坡CD的长度为（　　）米（精确到0.1米，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）

• A． 91.1
• B． 91.3
• C． 58.2
• D． 58.4

Answer 1

分析 作CP⊥BE、CQ⊥DE，设AP=x，知CP=$\sqrt{3}$x，根据BP=CP建立方程求出x的值，即可得CP=QE=100$\sqrt{3}$+300，QD=CP-DE=100$\sqrt{3}$-100，由$\frac{CQ}{QD}$=$\frac{3}{4}$知$\frac{QD}{CD}$=$\frac{4}{5}$，从而得CD=$\frac{5}{4}$QD，即可得出答案．

解答 解：如图，作CP⊥BE于点P，作CQ⊥DE于点Q，

由题意知∠ACP=30°，∠BCP=45°，
设AP=x，则CP=$\frac{AP}{tan∠ACP}$=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$x，
∵∠BCP=45°，
∴BP=CP，即$\sqrt{3}$x=200+x，
解得：x=100+100$\sqrt{3}$，
∴CP=$\sqrt{3}$x=100$\sqrt{3}$+300，
∵DE=400，
∴QD=QE-DE=CP-DE=100$\sqrt{3}$+300-400=100$\sqrt{3}$-100，
∵$\frac{CQ}{QD}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{QD}{CD}$=$\frac{4}{5}$，
则CD=$\frac{5}{4}$QD=$\frac{5}{4}$（100$\sqrt{3}$-100）≈91.3（米），
故选：B．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．