Question

5．已知关于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有两个不相等的实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x²+2x+$\frac{k-1}{2}$的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=2²-4×$\frac{k-1}{2}$＞0，然后解不等式得到k的范围，再在k的取值范围内找出正整数即可；
（2）先把x=0代入x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0中求出k=-1，从而得到二次函数解析式为y=x²+2x，根据二次函数图象上点的坐标特征，设M（t，t+2）（-2＜t＜1），则N（t，t²+2t），所以MN可表示为t²-t+2，然后根据二次函数的性质求解．

解答 解：（1）根据题意得△=2²-4×$\frac{k-1}{2}$＞0，解得k＜3，
而k为正整数，
所以k=1或2；
（2）当x=0代入x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0得k=1，则方程为x²+2x=0，
二次函数为y=x²+2x，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y=x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，则A（-2，0），B（1，3），如图，
设M（t，t+2）（-2＜t＜1），则N（t，t²+2t），
所以MN=t+2-（t²+2t）=-t²-t+2=-（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
当t=-$\frac{1}{2}$时，MN有最大值，最大值为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解根的判别式的意义和一元二次方程根的定义；会通过解方程组求一次函数与二次函数图象的交点坐标．