Question

7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=$\sqrt{3}$，点E是AB的中点，将线段DC以每秒1个单位长度的速度沿射线DC方向平移至D′C′，设移动时间为t秒，连接D′E并延长，交C′B的延长线于点F，连接AF．
（1）当t=1时，求BC′的长；
（2）证明：四边形AFBD′是平行四边形；
（3）当四边形AFBD′是菱形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）首先证明DD′=CC′=1，再利用勾股定理即可解决问题．
（2）欲证明四边形AFBD′是平行四边形，只要证明ED′=EF，利用平行线分线段成比例定理即可证明．
（3）当FD′⊥AB时四边形AFBD′是菱形，求出DD′即可解决问题．

解答 解：（1）t=1时，DD′=1，
∵CD=C′D′，
∴CC′=DD′=1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=$\sqrt{3}$，∠BCD=∠BCC′=90°，
∴BC′=$\sqrt{B{C}^{2}+CC{′}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2．

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，'
∵AE=EB，EB∥C′D′，
∴$\frac{FE}{FD′}$=$\frac{EB}{C′D′}$，
∵C′D′=CD=AB，
∴$\frac{FE}{FD′}$=$\frac{1}{2}$，
∴ED′=EF，∵AE=EB，
∴四边形AFBD′是平行四边形．

（3）∵四边形AFBD′是平行四边形，
∴当D′F⊥AB时，四边形AFBD′是菱形，
∵∠D=∠DAB=∠AED′=90°，
∴四边形AED′D是矩形，
∴DD′=AE=2，
∴t=2，
∴t=2时四边形AFBD′是菱形时．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，证明E是FD′中点是解题的突破口，属于中考常考题型．