如图.在平面直角坐标系中.四边形ABCO是平行四边形.点O为坐标原点.点A的坐标为.点B在y轴的正半轴上.点C在双曲线y=-$\frac{8}{x}$上.直线y=-x+m经过点C.交x轴于点D．(1)直接写出B.C.D三点的坐标,是线段OB上的一个动点.过点P作x轴的平行线.分别交AB.OC.DC于点E.F.G.设线段EG的长为d.求d与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，点O为坐标原点，点A的坐标为（-2，0），点B在y轴的正半轴上，点C在双曲线y=-$\frac{8}{x}$上，直线y=-x+m经过点C，交x轴于点D．
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与O，B两点重合），过点P作x轴的平行线，分别交AB，OC，DC于点E，F，G，设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若BG⊥OC，垂足为点M，求此时t的值；
（4）在（3）的条件下，在线段OB上是否存在一点H，使∠BFH=∠ABO，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用平行四边形的性质以及待定系数法即可解决问题．
（2）先求出直线AB的解析式，再分别求出点E、点G坐标即可解决问题．
（3）求出直线BG的解析式，利用方程组求出点G坐标，即可解决问题．
（4）先证明△BEF是等腰三角形，可以推出线段BF的中垂线与y轴的交点即为点H．求出线段BF的中垂线的解析式即可解决问题．

解答解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=2，
∵点C在y=$\frac{8}{x}$上，
∴点C坐标（2，4），
∴点B坐标（0，4），
把C（2，4）代入y=-x+m，得到m=6，
∴直线CD解析式为y=-x+6，
∵y=0时，x=6，
∴点D坐标为（6，0）．
∴B（0，4），C（2，4），D（6，0）．

（2）∵A（-2，0），B（0，4），
设直线AB解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=2x+4，
∵点P（0，t），直线CD解析式为y=-x+6，
∴点E坐标（$\frac{t-4}{2}$，t）点G坐标（6-t，t），
∴d=EG=（6-t）-$\frac{t-4}{2}$=-$\frac{3}{2}$t+8（0＜t＜4）．

（3）∵直线AB解析式为y=2x+4，AB∥CD，
∴直线CD解析式为y=2x，
∵BG⊥CD，
∴直线BG的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+4}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴点G坐标（4，2），
∴OP=2，
∴t=2．

（4）∵t=2时，F（1，2），E（-1，2），
∴PE=PF，
∵BP⊥EF，
∴BE=BF，
∴∠ABO=∠FBP，
∵∠BFH=∠ABO=∠FBP，
∴HB=HF，
∴点H在BF的垂直平分线上，
∵B（0，4），F（1，2），
∴可得直线BF解析式为y=-2x+4，
∵BF中点K坐标（$\frac{1}{2}$，3），
∴可得线段BF的中垂线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{4}$，
∴点H坐标（0，$\frac{11}{4}$）．