Question

8．已知一元二次方程x²+2x-3=0的两根是抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点的横坐标，且抛物线过点 （3，6）．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）将（1）所求得的二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求平移后的二次函数解析式．

Answer 1

分析 （1）先解方程方程x²+2x-3=0得x₁=-3，x₂=1，根据抛物线与x轴的交点问题得到抛物线与x轴的两个交点为（-3，0），（1，0），则可设交点式y=a（x+3）（x-1）（a≠0），然后把点（3，6）代入求出a即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式得到y=$\frac{1}{2}$（x+1）²-2，此抛物线的顶点坐标为（-1，-2），根据点平移的规律，点（-1，-2）平移后的对应点的坐标为（1，1），然后根据顶点式写出平移后的二次函数解析式．

解答 解：（1）∵方程x²+2x-3=0的解为x₁=-3，x₂=1，
∴抛物线与x轴的两个交点为（-3，0），（1，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）（a≠0），
∵点（3，6）在抛物线上，
∴a×6×2=6，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$ （x+3）（x-1），即y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$；
（2）y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x+1）²-2，此抛物线的顶点坐标为（-1，-2），
把点（-1，-2）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后所得对应点的坐标为（1，1），
所以平移后的二次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）²+1，即y=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了二次函数图形与几何变换．