Question

3．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x²-2x-3=0的根，则?ABCD的周长为（　　）

• A． 4+2$\sqrt{2}$
• B． 12+6$\sqrt{2}$
• C． 2+2$\sqrt{2}$
• D． 4+2$\sqrt{2}$或12+6$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由a是一元二次方程x²-2x-3=0的根，即可求得a的值，又由AE=EB=EC=a，即可求得BC的长，由AE⊥BC，由勾股定理即可求得AB的长，然后由四边形ABCD是平行四边形，即可求得?ABCD的周长．

解答 解：∵x²-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
∵AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x²-2x-3=0的根，
∴a=3，
∴AE=EB=EC=3，
∵AE⊥BC，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+E{B}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3$\sqrt{2}$，AD=BC=EB+EC=6，
∴?ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=12+6$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 此题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及一元二次方程的解法．注意平行四边形的对边相等．