Question

如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S_△FGC=3.6．
其中正确结论的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S_△FGC=S_△GCE-S_△FEC，求得面积比较即可．

解答：解：①正确．
理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．
理由：
EF=DE=

1

3

CD=2，设BG=FG=x，则CG=6-x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，
解得x=3．
∴BG=3=6-3=GC；
③正确．
理由：
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
④正确．
理由：过F作FH⊥DC，
∵BC⊥DH，
∴FH∥GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴

EH

GC

=

EF

EG

，
EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴△EFH∽△EGC，
∴相似比为：

FH

GC

=

EF

EG

=

2

5

，∴S_△FGC=S_△GCE-S_△FEC=

1

2

×3×4-

1

2

×4×（ 

2

5

×3）=

18

5

=3.6，
故④正确．
∴正确的个数有4个．
故选：D．

点评：本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．