Question

如图1，分别以矩形ABCD的一组对边AD、BC为一边在矩形ABCD外作菱形ADEF和菱形BCGH，∠FAD=∠HBC=α（0＜α≤90°），点O是矩形ABCD的边AB 的中点，连接OE、OG、EG．

探究发现
（1）小明发现：如图2，当α=90°时有一下两个结论成立：
①OE=OG；②AB∥EG
（2）小明猜想：“当α≠90°时，以上两个结论仍然成立．”你同意他的猜想吗？请你分别作出判断，并说明理由．
解决问题
（3）如图3，点O、D、E在同一条直线上，tanα=

3

4

，求

CD

EG

的值；
（4）如图2，若矩形ABCD的边长AB=4，AD=5，当△OEG的中位线长正好等于线段AD长时，请你直接写出sinα的值（不必说明理由）

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：压轴题

分析：（1）如图2，根据菱形的性质可以得出△FOE≌△HOG，就可以得出OE=OG，由菱形的性质就可以得出∠ABC=∠GCB，进而就可以得出AB∥EG；
（2）如图1，连结OD，OC，在EG上取一点P，使CP=DE，由△EDO≌△GCO就可以得出OE=OG，∠DEG=∠CGE，得出四边形EDCP是平行四边形，进而得出AB∥EG；
（3）如图3，由菱形的性质就可以得出ED∥AF，就有∠DAF=∠ADO，就有tan∠ADO=

3

4

，由勾股定理就可以得出OD，由△ODC∽△OEG，就可以求出EG，进而得出结论；
（4）如图4，延长AD、BC分别交EG于点I、J，作DK⊥AF于点K，由DC∥EG，ED=CG就可以得出EI=JG．由三角形中位线的性质就可以得出EG的值，由勾股定理就可以求出DI，再证明△DIE≌△AKD就可以得出AK=DI，在Rt△DKA中由勾股定理求出DK的值就可以得出sinα的值．

解答：解：（1）如图2，∵四边形ADEF和四边形BCGH是菱形，
∴AF=EF=DE=AD，BC=BH=GC=GH．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠DAC=∠ABC=∠BCD=90°．DC∥AB．
∴AF=EF=DE=AD=BC=BH=GC=GH，
∵∠FAD=∠HBC=90°，
∴四边形ADEF和四边形BCGH是正方形，∠ADE=∠ADC=∠BCD=∠BCG=∠F=∠H=90°，
∴E、D、C、G在同一直线上，
∴EG∥AB．
∵点O是AB的中点，
∴AO=BO，
∴AF+AO=BH+BO，
∴FO=HO．
在△FOE和△HOG中

EF=GH ∠F=∠H FO=HO

，
∴△FOE≌△HOG（SAS），
∴EO=EG．
（2）成立，OE=OG；AB∥EG
理由：如图1，连结OD，OC，在EG上取一点P，使CP=DE，
∴∠CPG=∠CGP．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠DAC=∠ABC=∠BCD=90°．DC∥AB．
∵点O是AB的中点，
∴AO=BO，
在△AOD和△BOC中，

AD=BC ∠DAB=∠CBA AO=BO

，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴DO=CO．∠ADO=∠BCO．
∵∠ADE=∠BCG，
∴∠ADE+∠ADO=∠BCG+∠BCO
∴∠EDO=∠GCO．
在△EDO和△GCO中，

ED=GC ∠EDO=∠GCO DO=CO

，
∴△EDO≌△GCO（SAS），
∴EO=GO，∠DEO=∠CGO，
∴∠OEG=∠OGE，
∴∠OEG-∠DEO=∠OGE-∠CGO，
∴∠DEG=∠CGE，
∴∠DEG=∠CPG，
∴PC∥DE．
∵PC=DE，
∴四边形DCPE是平行四边形，
∴PE∥DC，
∴AB∥EG．
（3）如图3，∵四边形ADEF是菱形，
∴ED∥AF．ED=AD．
∵点O、D、E在同一条直线上，
∴EO∥AF，
∴∠FAD=∠ADO=a．
∵tanα=

3

4

，
∴

AO

AD

=

3

4

，
设AO=3a，AD=4a，在Rt△AOD中，由勾股定理，得
DO=5a．
∵点O是AB的中点，
∴AB=2AO=6a．
∴CD=6a．
∵CD∥EG，
∴△ODC∽△OEG，
∴

DC

EG

=

OD

OE

，
∴

CD

EG

=

5a

9a

=

5

9

；
（4）如图4，延长AD、BC分别交EG于点I、J，作DK⊥AF于点K，
∴∠DKA=90°．
∵CD∥EG，
∴∠DIE=∠CJG=90°，
∴∠DIE=∠DKA．
∵△OEG的中位线长正好等于线段AD长，
∴EG=2AD．
∵AD=5，
∴EG=10．
∵CD=AB=4，
∴IJ=4
在△DIE和△CJG中，

∠DIE=∠CJG ∠DEI=∠CJG DE=CG

，
∴△DIE≌△CJG（AAS），
∴IE=JG=3．
∵四边形ADEF是菱形，
∴ED=AD=5．ED∥AF，
∴∠EDK=∠AKD=90°，
∴∠EDI+∠ADK=90°．
在Rt△DIE中，由勾股定理，得
DI=4．
∵∠ADK+∠KAD=90°，
∴∠EDI=∠DAK．
在△DIE≌△AKD

∠DIE=∠DKA ∠EDI=∠DAK DE=AD

，
∴△DIE≌△AKD（AAS），
∴DI=AK=4．
在Rt△ADK中，由勾股定理，得
DK=3．
∴sinα=

DK

AD

=

3

5

．
答：sinα的值为

3

5

．

点评：本题考查了矩形的性质的运用，菱形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，平行四边形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时灵活运用菱形的性质求解是解答本题的关键．