Question

已知等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，∠ABC=∠ADE=90°
（1）如图1，D、M分别在AB、BC上，且BD=BM．求证：四边行CMDE为平行四边形；
（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转45°得到图2，求

CE

BD

的值；
（3）将图2中的延长交于N，若∠DCH=30°，CD=2，直接写出∠N=

 

，CN=

 

．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）根据等腰直角的性质得∠A=45°，且BC∥DE，由BD=BM可判断△BDM为等腰直角三角形，则∠BDM=45°，于是有∠BDM=∠A，根据平行线的性质得DM∥AC，然后根据平行四边形的判定方法得到四边行CMDE为平行四边形；
（2）设等腰直角△ABC的直角边长为a，等腰直角△ADE的直角边长为b，根据等腰直角三角形的性质得AC=

2

a，AE=

2

b，再利用旋转的性质得∠DAE=45°，
而∠BAC=45°，则∠CAE=∠BAD，然后计算得到

AE

AD

=

AC

AB

=

2

，根据相似三角形的判定方法得到△ACE∽△ABD，利用相似比即可得到

CE

BD

=

2

；
（3）如图3，作DM⊥CN于M，由△ACE∽△ABD得到∠ABD=∠ACE=30°，根据对顶角相等得∠CDN=∠ADB，则根据三角形内角和定理得∠N+∠DCN=∠DBA+∠DAB，所以∠N=∠DAB=45°；在Rt△CDE中，CD=2，∠DCE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得DM=

1

2

CD=1，CM=

3

DM=

3

，在Rt△DMN中，根据等腰直角三角形的性质得MN=DM=1，所以CN=CM+MN=

3

+1．

解答：（1）证明：∵等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，
∴∠A=45°，BC∥DE，
∵BD=BM，
∴△BDM为等腰直角三角形，
∴∠BDM=45°，
∴∠BDM=∠A，
∴DM∥AC，
∴四边行CMDE为平行四边形；
（2）解：设等腰直角△ABC的直角边长为a，等腰直角△ADE的直角边长为b，则AC=

2

a，AE=

2

b，
∵将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转45°得到图2，
∴∠DAE=45°，
而∠BAC=45°，
∴∠CAE=∠BAD
∵

AE

AD

=

2 b

b

=

2

，

AC

AB

=

2 a

a

=

2

，
∴

AE

AD

=

AC

AB

，
∴△ACE∽△ABD，
∴

CE

BD

=

2

；
（3）如图3，作DM⊥CN于M，
∵△ACE∽△ABD，
∴∠ABD=∠ACE=30°，
∵∠CDN=∠ADB，
∴∠N+∠DCN=∠DBA+∠DAB，
∴∠N=∠DAB=45°，
在Rt△CDE中，CD=2，∠DCE=30°，
∴DM=

1

2

CD=1，
∴CM=

3

DM=

3

，
在Rt△DMN中，∠N=45°，
∴△DMN为等腰直角三角形，
∴MN=DM=1，
∴CN=CM+MN=

3

+1．
故答案为45°，

3

+1．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定和旋转的性质；会运用相似三角形的判定与性质计算两线段的比值；记住含30度的直角三角形三边的关系．