Question

16．如图，已知△ABC，AB=AC，∠A=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E、F．给出以下四个结论：
①AE=CF；
②EF=AP；
③△EPF是等腰直角三角形；
④S_{四边形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC
上述结论始终正确的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①③
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 连接AP，判断出△APE≌△CPF，可得①③结论正确，同理证明△APF≌△BPE，即可得到④正确；

解答 解：连接AP，EF，
∵AB=AC，∠A=90°，
∴AP⊥BC，
∴∠APC=90°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF=∠APE+∠APF=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在等腰直角三角形ABC中，AP⊥BC，
∴∠BAP=∠CAP=∠C=45°，AP=CP，
在△APE和△CPF中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠C=45°}\\{AP=CP}\\{∠APE=∠CPF}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF，
∴S_△APE=S_△CPF，AE=CF，PE=PF，
∵∠EPF=90°，
∴△EPF是等腰直角三角形；
即：①③正确；
同理：△APF≌△BPE，
∴S_△APF=S_△BPE，
∴S_{四边形AEPF}=S_△APE+S_△APF=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
即：④正确；
∵△△EPF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$PE，
当PE⊥AB时，AP=$\sqrt{2}$EF，而PE不一定垂直于AB，
∴AP不一定等于EF，
∴②错误；
故选C．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是△APE≌△CPF．