题目内容

观察下列各等式：0＜a＜1，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×5
=
1
2
(
1
3
-
1
5
)，…根据你发现的规律，计算：
1
1×4
+
1
4×7
+
1
7×10
+…+
1
(3n-2)(3n+1)
=
 
（n为正整数）．
分析：由已知规律，可知原式=
1
3
（1-
1
4
+
1
4
-
1
7
+…+
1
3n-2
-
1
3n+1
）=
1
3
（1-
1
3n+1
）=
n
3n+1
．
解答：解：∵
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×5
=
1
2
（
1
3
-
1
5
），
所以
1
1×4
=
1
3
（1-
1
4
），
1
4×7
=
1
3
（
1
4
-
1
7
），…，
1
(3n-2)(3n+1)
=
1
3
（
1
3n-2
-
1
3n+1
），
∴原式=
1
3
（1-
1
4
+
1
4
-
1
7
+…+
1
3n-2
-
1
3n+1
）=
1
3
（1-
1
3n+1
）=
n
3n+1
．
点评：找得到规律：若左边分母中的两个因数的差是m，则右边应乘以
1
m
（m为整数）．
练习册系列答案
相关题目
观察下列各等式的数字特征：
5
3
-
5
8
=
5
3
×
5
8
，
9
2
-
9
11
=
9
2
×
9
11
，
10
7
-
10
17
=
10
7
×
10
17
，…，将你所发现的规律用含字母a，b的等式表示出来：
 
．
观察下列各等式，并回答问题：
1
1×2
=1-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；
1
4×5
=
1
4
-
1
5
；…
（1）填空：
1
n(n+1)
=
 
（n是整数）；
（2）计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
8×9
.
解：原式=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
8
-
1
9
)=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
8
-
1
9
=1-
1
9
=
8
9

请同学们观察上面解题过程后计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
2009×2010
.
观察下列各等式：
1
2
+(-1)=
1
2
÷(-1)，-4+2=(-4)÷2，(-
25
4
)+5=(-
25
4
)÷5，…
（1）以上各等式都有一个共同的特征：某两个数字的
和
和
等于这两个数的
商
商
；如果等号左边的第一个数用x表示，第二个数用y表示，那么这些等式的共同特点可用含x，y的等式表示为
x+y=
x
y
x+y=
x
y
．
（2）请你再找出一组满足以上特征的两个有理数，并写成等式的形式：
（-
9
2
）+3=（-
9
2
）÷3
（-
9
2
）+3=（-
9
2
）÷3
．
观察下列各等式，并解答问题：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5
；…，以此类推，可得：
（1）
1
5×6
=___；
（2）
1
n(n+1)
=_____（n是正整数）
（3）计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012
．
观察下列各等式：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42…通过上述观察，你能猜想出反映这种规律的一般结论吗？你能运用上述规律求1+3+5+7+…+2 011的值吗？

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