题目内容

观察下列各等式，并回答问题：
1
1×2
=1-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；
1
4×5
=
1
4
-
1
5
；…
（1）填空：
1
n(n+1)
=
 
（n是整数）；
（2）计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
8×9
.
解：原式=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
8
-
1
9
)=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
8
-
1
9
=1-
1
9
=
8
9

请同学们观察上面解题过程后计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
2009×2010
.
分析：（1）首先观察出等式左边的式子分母是两个连续自然数的乘积，分子是1，等式右边的式子两个分数的差，分母仍然是对应的两个自然数，分子是1，由此得出一般规律；
（2）利用（1）的规律把算式展开就可以解答．
解答：解：（1）由
1
1×2
=1-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；
1
4×5
=
1
4
-
1
5
；
…
所以
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；

（2）
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
2009×2010
.，
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
5
+…+
1
2009
-
1
2010
，
=1-
1
2010
，
=
2009
2010
．
点评：此题考查分母是连续自然数的乘积，分子是1的分数等于两个对应自然数的倒数差：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
．
练习册系列答案
相关题目
观察下列各等式，并回答问题：
1
1×2
=1-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；
1
4×5
=
1
4
-
1
5
；…
（1）填空：
1
n(n+1)
=
 
（n是正整数）；
（2）计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
2002×2003
．
观察下列各等式，并解答问题：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5
；…，以此类推，可得：
（1）
1
5×6
=___；
（2）
1
n(n+1)
=_____（n是正整数）
（3）计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012
．

观察下列各等式，并回答问题：
，，……
填空：           （n是正整数）；

观察下列各等式，并回答问题：数学公式；数学公式；数学公式；数学公式；…
（1）填空：数学公式=______（n是正整数）；
（2）计算：数学公式…数学公式．

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