Question

16．已知抛物线y=ax²+bx+c．
（1）过（-3，0）（1，0）两点，与y轴的交点为（0，4）；
（2）顶点为（2，4），且过（1，2）；
（3）对称轴为x=3，c=1，与x轴两个交点之间的距离为4，
求抛物线解析式．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设抛物线的交点式为y=a（x+3）（x-1），代入（0，4）即可求得a；
（2）根据题意，设抛物线的顶点式为y=a（x-2）²+4，代入（1，2）即可求得a；
（3）根据题意求得抛物线和x轴的交点坐标，进而根据x₁•x₂=$\frac{c}{a}$求得a的值，代入抛物线的交点是即可求得．

解答 解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），
代入（0，4）得，4=-3a，
解得a=-$\frac{4}{3}$；
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{4}{3}$（x+3）（x-1）=-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4
（2）根据题意，设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+4，
代入（1，2）得2=a+4，
解得a=-2，
所以抛物线的解析式为y=-2（x-2）²+4=-2x²+8x-4；
（3）由对称轴为x=3，与x轴两个交点之间的距离为4可知交点坐标为（1，0），（5，0），
∵1×5=$\frac{c}{a}$，c=1，
∴a=$\frac{1}{5}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{5}$（x-1）（x-5）=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{6}{5}$x+1．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握抛物线的一般式，顶点式和交点式是解题的关键．