Question

19．已知α，β是关于x的方程x²-3x+k=0的两个不等实根．
（1）用k表示$\frac{β}{α}+\frac{α}{β}$；
（2）用k表示$\frac{4k-5}{2α-1}+\frac{k+18}{α+2β}+\frac{1}{3}{α^2}$．

Answer 1

分析 （1）由α，β是关于x的方程x²-3x+k=0的两个不等实根，于是得到α+β=3，αβ=k，代入代数式即可得到结果；
（2）根据α+β=3，αβ=k，于是得到α+2β=β+3，k+18=αβ+9+3α+3β=α（β+3）+3（β+3），$\frac{k+18}{α+2β}$=α+3，根据方程根的定义得到α²=3α-k，代入代数式化简后即可得到结论．

解答 解：（1）∵α，β是关于x的方程x²-3x+k=0的两个不等实根，
∴α+β=3，αβ=k，
∴（1）$\frac{β}{α}+\frac{α}{β}$=$\frac{（α+β）^2}{αβ}$-2=$\frac{9}{k}$-2；

（2）∵α+2β=β+3，k+18=αβ+9+3α+3β=α（β+3）+3（β+3），
∴$\frac{k+18}{α+2β}$=α+3，
∵α²=3α-k，
∴$\frac{4k-5}{2α-1}+\frac{k+18}{α+2β}+\frac{1}{3}{α^2}$=$\frac{4k-5}{2α-1}+\frac{k+18}{3+β}+\frac{1}{3}{α^2}$=$\frac{4k-5}{2α-1}$+（3+α）$+\frac{1}{3}{α}^{2}$=$\frac{3（4k-5）+3（2α-1）（3+α）+（3α-k）}{3（2α-1）}$=$\frac{48α-24-2αk+k}{3（2α-1）}$=$\frac{24（2α-1）-k（2α-1）}{3（2α-1）}$
=$\frac{24-k}{3}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．