Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=4，过点B作⊙O的切线，C是切线上一点，且BC=2，P是线段OA上一动点，连结PC交⊙O于点D，过点P作PC的垂线，交切线BC于点E，交⊙O于点F，连结DF交AB于点G．
（1）当P是OA的中点时，求PE的长；
（2）若∠PDF=∠E，求△PDF的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证△CBP∽△PBE，得出比例式，求出BE，根据勾股定理求出PE即可；
（2）分为两种情况：（i）弦DF不是直径，求出PD=PF，∠GPD=∠GDP=45°，求出BP=BC=2=BO，点P与点O重合，根据三角形面积公式求出即可；（ii）弦DF恰为直径，则点P即为点A．求出S_△PCE=

1

2

×10×4=20，根据相似三角形的性质求出△PDF的面积即可．

解答：解：（1）当P是OA的中点时，PB=3，
∵CE是⊙O的切线，
∴AB⊥CE，
又∵CP⊥PE，∠CPB=∠E，
∴△CBP∽△PBE，
∴

CB

BP

=

PB

BE

，
∴BE=

BP2

BC

=

9

2

，
∴在Rt△PBE中，PE=

PB2+BE2

=

32+( 9 2 )2

=

3 13

2

；

（2）在Rt△PDG中，由∠PDF=∠E=∠CPB，可知∠GPF=∠GFP
于是GD=GP=GF，
直径AB平分弦DF，有两种可能：
（ⅰ）弦DF不是直径，如图1，则AB⊥DF，于是PD=PF，∠GPD=∠GDP=45°
∴BP=BC=2=BO，点P与点O重合．S_△PDF=

1

2

×2×2=2；
（ⅱ）弦DF恰为直径，如图2，

则点P即为点A．而BC=2，BP=4，
∴BE=8，
S_△PCE=

1

2

×10×4=20，
∴S_△PDF=（

4

10

）²×20=

16

5

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，有一定的难度．