Question

3．如图，△ABC中，AB=8，AC=5，∠A=60°，圆O是三角形的内切圆，如果在这个三角形内随意抛一粒豆子，则豆子落在圆O内的概率为$\frac{\sqrt{3}π}{10}$．

Answer 1

分析 作CD⊥AB于D，根据直角三角形的性质和勾股定理求出CD、AD的长，根据三角形的面积=$\frac{1}{2}$×（AB+BC+AC）×r计算即可，再根据概率=相应的面积与总面积之比即可求解．

解答 解：作CD⊥AB于D，
∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
∴CD=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，BD=AB-CD=$\frac{11}{2}$，
∴BC=7，
设△ABC的内切圆半径为r，
$\frac{1}{2}$×（AB+BC+AC）×r=$\frac{1}{2}$×AB×CD，
解得r=$\sqrt{3}$，
$\frac{1}{2}$×AB×CD=$\frac{1}{2}$×8×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$，
π×（$\sqrt{3}$）²=π×3=3π，
豆子落在圆O内的概率为$\frac{3π}{10\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}π}{10}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}π}{10}$．

点评 本题考查的是几何概率，三角形内心的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点和角平分线的性质是解题的关键．