Question

15．已知关于x的函数y=ax²-2abx+ab²-1，直线y=-ax+3与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点P，点B的纵坐标为3，且AP⊥BP，AP=BP．
（1）求实数a的值及点B的坐标；
（2）若该二次函数的图象与线段AB只有一个公共点，请结合函数图象，求出实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据AP⊥BP，AP=BP先判断出△PAB是等腰直角三角形，确定出点B，P的坐标．
（2）先确定出抛物线的顶点坐标，然后确定出抛物线与直线AB的交点坐标，根据图象确定出b的范围．

解答 解：过P作PC⊥AB，
∵AP⊥BP，AP=BP，
∴△APB为等腰直角三角形，
∴直线y=-ax+3与y轴交于点A，
∴点A的纵坐标为3，
∵点B的纵坐标为3，
∴AB∥x轴，
∴PC=3
∴AB=2PC=6，
∴B（6，3），P（3，0），
∵直线y=-ax+3与x轴的正半轴交于点P，
∴-3a+3=0，
∴a=1，
（2）如图，

由（1）有a=1，
∴关于x的函数y=ax²-2abx+ab²-1=x²-2bx+b²-1=（x-b）²-1，
∴此函数图象是顶点的纵坐标为-1的抛物线，
∵直线AB解析式为y=3，
∴抛物线与直线AB的交点坐标为（b-2，3）和（b+2，3）
∴两交点之间的距离为4，
∵该二次函数的图象与线段AB只有一个公共点，
∴①当抛物线和线段AB的左侧只交一个点时，
∴b-2＜0，b+2≥0，
∴-2≤b＜2，
②当抛物线和线段AB的左侧只交一个点时，
∴b-2＜≤6，b+2＞6，
∴4＜b≤8．
∴实数b的取值范围-2≤b＜2或4＜b≤8．

点评 此题是抛物线的交点坐标题，主要考查了等腰直角三角形的性质，抛物线与直线的交点，解本题的关键是画出图象，分析抛物线与线段AB只有一个交点是解本题的难点．