Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，动点F在线段BC的垂直平分线DG上，垂足为D，DG交AB于E，连接CE，AF，动点F从D点出发以1cm/s的速度移动，设运动时间为t（s）．
（1）当t=6s时，求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）①在（1）的条件下，当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；
　　②当t=4s时，四边形ACDF是矩形．

Answer 1

分析 （1）根据垂直平分线的性质找出∠BDE=∠BCA=90°，进而得出DE∥AC，再根据三角形中位线的性质可得出DE的长度，根据边与边之间的关系可得出EF=AC，从而可证出四边形ACEF是平行四边形；
（2）①根据垂直平分线的性质可得出BE=EC=$\frac{1}{2}$AB，再根据菱形的性质可得出AC=CE=$\frac{1}{2}$AB，利用特殊角的正弦值即可得出∠B的度数；
②根据矩形的性质可得出DF=AC，再根据运动时间=路程÷速度即可得出结论．

解答 （1）证明：当t=6时，DF=6cm．
∵DG是BC的垂直平分线，∠ACB=90°，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴DE∥AC，DE为△BAC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=2．
∵EF=DF-DE=4=AC，EF∥AC，
∴四边形ACEF是平行四边形．
（2）①∵DG是BC的垂直平分线，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$AB，
∵四边形ACEF是菱形，
∴AC=CE=$\frac{1}{2}$AB，
∴sin∠B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°．
故答案为：30°．
②∵四边形ACDF是矩形，
∴DF=AC=4，
∵动点F从D点出发以1cm/s的速度移动，
∴t=4÷1=4（秒）．
故答案为：4．

点评 本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、特殊角的三角函数值以及矩形的性质，解题的关键是：（1）找出EF=AC，且EF∥AC；（2）①找出sin∠B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$；②根据数量关系算出时间t．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行四边形（菱形或矩形）的性质找出相等的边角关系是关键．