Question

4．我市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫的惠农富农，老张在科技人员的指导下，改良柑橘品种，去年他家的柑橘喜获丰收，而且质优味美，客商闻讯前来采购，经协商：采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）老张种植柑橘的成本是800元/吨，当客商采购量是多少时，老张在这次销售柑橘时获利最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）分别根据当0＜x≤10时，y=2000，当10＜x≤20时，设函数关系式为y=kx+b，分别求出即可；
（2）利用当0＜x≤10时，老张获得的利润为：w=（2000-1200）x，当10＜x≤20时，老张获得的利润为w=（-80x+28 00-800）x分别求出即可．

解答 解：（1）当0＜x≤10时，y=2000．
当10＜x≤20时，设BC满足的函数关系式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=2000}\\{20k+b=1200}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-80}\\{b=2800}\end{array}\right.$，
∴y与x之间的函数关系式为：y=-80x+2800．

（2）当0＜x≤10时，老张获得的利润为：
w=（2000-800）x
=1200x≤12 000，此时老张获得的最大利润为12 000元．
当10＜x≤20时，老张获得的利润为w=（-80x+2800-800）x
=-80（x²-25x）=-80（x-12.5）²+12500．
∴当x=12.5时，利润w取得最大值，最大值为12500元．
∵12500＞12 000，
∴当客商的采购量为12.5吨时，老张在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为12500元．

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及分段函数的应用，根据数形结合以及分类讨论得出是解题关键．