Question

13．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若$\frac{OC}{AC}$=$\frac{2}{3}$，且OC=4，求PA的长．

Answer 1

分析 （1）证明△PAO≌△PBO可得结论；
（2）根据∠POA的余切列式，可以求出PA的长．

解答 （1）证明：连接OB，
∵PB为⊙O的切线，
∴OB⊥PB，
∴∠PBO=90°，
∵OP⊥AB，
∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∵OA=OB，PO=PO，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）∵$\frac{OC}{AC}$=$\frac{2}{3}$，且OC=4，
∴AC=6，
∴AO=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{16+36}$=2$\sqrt{13}$，
在Rt△PAO中，∵AB⊥PO，
∴tan∠POA=$\frac{AC}{OC}=\frac{PA}{AO}$，
∴$\frac{3}{2}=\frac{PA}{2\sqrt{3}}$，
∴PA=3$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了切线的性质和判定，做好本题是明确两点：①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；要利用比例式计算边的长度时，利用三角函数列式比相似要简单些．