Question

14．让我们来共同探究“三角形的角平分线”的特殊性质：
如图，△ABC中，AD平分∠BAC，试探究S_△ABD与S_△ACD的比与图中线段有何关系．
（1）下面（图1）是小明的做法，请你完成他的步骤：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．∵AD平分∠BAC，∴DE=DF．而S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB×DE，S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC×DF．则$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{（）}{（）}$；
（2）下面（图2）是小华的做法，请你完成他的步骤：过点A作AP⊥BC，垂足为P，而S_△ABD=$\frac{1}{2}$×BD×AP，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×CD×AP，则$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{（）}{（）}$
（3）结合（1）、（2）的结论，可得“三角形的角平分线”的一个新的性质：
已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，则线段AB、AC、BD、CD的关系为：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．

Answer 1

分析 （1）过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，得出DE=DF，再根据三角形的面积计算公式，得出$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{AB}{AC}$；
（2）过点A作AP⊥BC，垂足为P，根据三角形的面积计算公式，得出$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{BD}{CD}$；
（3）根据（1）、（2）的结论，即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
又∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×DE，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AC×DF，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{AB}{AC}$，
故答案为：DE，DF，AB，DE，AC，DF；

（2）如图2，过点A作AP⊥BC，垂足为P，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$×BD×AP，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×CD×AP，
∴则$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{BD}{CD}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$×BD×AP，$\frac{1}{2}$×CD×AP；

（3）根据（1）、（2）的结论，可得：
若在△ABC中，AD平分∠BAC，则线段AB、AC、BD、CD的关系为：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．
故答案为：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．

点评 本题主要考查了角平分线的性质以及三角形的面积的计算公式的运用，解决问题的关键是掌握：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．解题时注意：等高的三角形的面积之比等于底边之比．