Question

如图，直线l过点A（4，0）、B（0，4）两点，它与抛物线y-ax²在第一象限内相交于点P，又知△AOP的面积为

11

2

．
（1）求tan∠OAB的值及P点的坐标；
（2）求抛物线y=ax²的解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题

分析：（1）由A点和B点坐标得到OA=4，OB=4，则可利用正切的定义求tan∠OAB的值；再利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-x+4，设P点坐标为（t，-t+4），（t＞0），于是根据三角形面积公式得到

1

2

×4×（-t+4）=

11

2

，解得t=

5

4

，所以P点坐标为（

5

4

，

11

4

）；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征，把点P坐标代入y=ax²中可计算出a的值，从而得到抛物线解析式．

解答：解：（1）∵A（4，0）、B（0，4），
∴OA=4，OB=4，
∴tan∠OAB=

OB

OA

=

4

4

=1，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（4，0）、B（0，4）分别代入得

4k+b=0 b+4

，解得

k=-1 b=4

，
∴直线AB的解析式为y=-x+4，
设P点坐标为（t，-t+4），（t＞0），
∵△AOP的面积为

11

2

，
∴

1

2

×4×（-t+4）=

11

2

，解得t=

5

4

，
∴P点坐标为（

5

4

，

11

4

）；
（2）∵点P（

5

4

，

11

4

）在抛物线y=ax²上，
∴（

5

4

）²•a=

11

4

，解得a=

44

25

，
∴抛物线解析式为y=

44

25

x²．

点评：主要考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小．也考查抛物线与一次函数图象的交点问题和锐角三角函数的定义．