Question

12．如图，已知点A，B，C，D均在⊙O上，CD为∠ACE的角平分线．
（1）求证：△ABD为等腰三角形；
（2）若∠DCE=45°，BD=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）欲证明△ABD为等腰三角形，只要证明∠DBA=∠DAB即可．
（2）如图2中，只要证明AB是直径即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵CD平分∠EAC，
∴∠ECD=∠DCA，
∵∠ECD=∠DAB，∠DCA=∠DBA，
∴∠DBA=∠DAB，
∴DB=DA．
∵△DBA是等腰三角形．

（2）如图2中，

∵∠DCE=∠DCA=45°，
∴∠ECA=∠ACB=90°，
∴AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∵BD=AD=6，
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}+D{A}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$．
∴⊙O的半径为3$\sqrt{2}$

点评 本题考查圆周角、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．