Question

如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：△ADC≌△BDF；
（2）若CD=

2

，求AD的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）由AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，就可以得出AD=BD，再由直角三角形的性质求出∠DAC=∠DBE就可以得出结论；
（2）由△ADC≌△BDF可以得出CD=ED，由勾股定理就可以求出CF，根据等腰三角形的性质就可以求出AE=CE，从而求出结论．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∴∠ACD+∠DAC=90°．
∵∠BAD=45°，
∴∠ABD=45°，
∴∠BAD=∠DBA，
∴AD=BD．
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠EBC=90°，∠ADB=∠ADC
∴∠DAC=∠DBF．
在△ADC和△BDF中，

∠DAC=∠DBF AD=BD ∠ADC=∠BDF

，
∴△ADC≌△BDF（ASA）；

（2）△ADC≌△BDF，
∴DC=DF．
∵CD=

2

，
∴DF=

2

．
在Rt△CDF中，由勾股定理，得
CF=2．
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=CE，
∴BE是AC的中垂线，
∴AF=CF，
∴AF=2，
∵AD=AF+DF，
∴AD=2+

2

．
答：AD的长为2+

2

．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中垂线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．