已知:如图.△ABC是等腰直角三角形.∠BAC=90°.过点C作BC的垂线l.把一个足够大的三角板的直角顶点放到点A处(三角板和△ABC在同一平面内).绕着点A旋转三角板.使三角板的直角边AM与直线BC交于点D.另一条直角边AN与直线l交于点E．(1)当三角板旋转到图1位置时.若AC=2.求四边形ADCE的面积,(2)在三角板旋转的过程中.请探究∠EDC与∠BAD的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，过点C作BC的垂线l，把一个足够大的三角板的直角顶点放到点A处（三角板和△ABC在同一平面内），绕着点A旋转三角板，使三角板的直角边AM与直线BC交于点D，另一条直角边AN与直线l交于点E．
（1）当三角板旋转到图1位置时，若AC=

，求四边形ADCE的面积；
（2）在三角板旋转的过程中，请探究∠EDC与∠BAD的数量关系，并证明．

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出四边形ADCE的面积=△ABC的面积；
（2）分以下两类讨论：①当点D在线段BC上或在线段CB的延长线上时，∠EDC=∠BAD，如图1、图2所示．根据△ABD≌△ACE就可以得出△ADE是的等腰直角三角形，进而得出结论；②当点D在线段BC的延长线上时，如图4，根据△ABD≌△ACE就可以得出△ADE是的等腰直角三角形，由三角形的内角和关系就可以得出结论．

解答：解：（1）如图1，∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵BC⊥l，
∴∠BCE=90°，
∴∠ACE=45°，
∴∠ACE=∠B．
∵∠DAE=90°，
∴∠2+∠CAD=90°．
∵∠1+∠CAD=90°，
∴∠1=∠2，
在△BAD和△CAE中，

∠B=∠ACE

AB=AC

∠1=∠2

，
∴△BAD≌△CAE（ASA）．
∴S_△BAD=S_△CAE．

∵S_{四边形ADCE}=S_△CAE+S_△ADC，
∴S_{四边形ADCE}=S_△BAD+S_△ADC=S_△ABC．
∵AC=

，
∴AB=

，
∴S_△ABC=1，
∴S_{四边形ADCE}=1；

（2）分以下两类讨论：
①当点D在线段BC上或在线段CB的延长线上时，∠EDC=∠BAD，如图2、图3所示．

如图2∵△BAD≌△CAE（ASA），（已证）
∴AD=AE．
∵∠MAN=90°，
∴∠AED=45°．
∴∠AED=∠ACB．
在△AOE和△DOC中，∠AOE=∠DOC，
∴∠EDC=∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠EDC=∠1．
如图3中同理可证
②当点D在线段BC的延长线上时，
∠EDC+∠BAD=180°，
理由：如图4所示．
∵△BAD≌△CAE，
∴AD=AE．
∴∠ADE=∠AED=45°．
∵∠EDC=45°+∠ADC，∠BAD=180°-45°-∠ADC，
∴∠EDC+∠BAD=45°+∠ADC+180°-45°-∠ADC=180°

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，旋转的性质的运用，三角形的面积公式的运用，三角形内角和定理的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．