Question

设N是一个正整数，A是一个2N位数，且每位上的数均为4，B是一个N位数，且每位上的数均为8．证明：A+2B+4是一个完全平方数．

Answer 1

考点：完全平方数

专题：证明题

分析：首先把A、B代入A+2B+4=4×（1…1）（2n个1）+2×8×（1…1）（n个1）+4=4×（1…1+4…4+1），只要证明证明表达式A=（1…1+4…4+1）为完全平方数即可，先从简单的开始，找出规律解决问题．

解答：解：由A+2B+4=4×（1…1）（2n个1）+2×8×（1…1）（n个1）+4=4×（1…1+4…4+1），
当n=1时，
原式=11+4+1=16=4²；
当n=2时，
原式=1111+44+1=1156=34²；
当n=3时，
原式=111111+444+1=111556=334²；
所以A+2B+4=4×（1…1+4…4+1）=33…34²（n-1个3）．
也就是A+2B+4是一个完全平方数．

点评：此题考查完全平方式的性质，注意从简单情形考虑，找出规律，得出解决问题的方法．