Question

【题目】已知：如图，△ABC是等边三角形，延长AC到E，C为线段AE上的一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ,OC. 以下五个结论：①AD=BE；②AP=BO；③PQ//AE；④∠AOB=60°；⑤OC平分∠AOE；结论正确的有_________（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

【答案】①③④⑤

【解析】

根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD△BCE，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，所以①正确；

由△ACD△BCE得∠CAD=∠CBE，加上∠BCA=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP△BCQ（ASA），所以AP=BO，故②错误；

根据△ACP△BCQ，再根据PC=QC，推出△PCQ是等边三角形，又由∠ACB=∠CPQ，根据内错角相等，两直线平行，故③正确；

利用等边三角形的性质，BC//DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故④正确；

根据三角形面积公式求出CN=CM，根据角平分线性质即可判断⑤.

①∵正三角形ABC和正三角形CDE，

∴BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD△BCE（SAS），

∴AD=BE；故①正确.

②∵△ACD△BCE（已证），

∴∠CAD=∠CBE，

∵∠BCA=∠DCE=60°（已证），

∴=60°，

∴∠ACB=∠BCQ=60°，

在△ACP和△BCQ中，

，

∴△ACP△BCQ（ASA），

∴AP=BO，

故②错误.

③∵△ACP△BCQ（已证），

∴PC=QC，

∴△PCQ是等边三角形.

∴∠CPQ=60°，

∴∠ACB=∠CPQ，

∴PQ//AE，

故③正确.

④∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°，

在正三角形CDE中，

∠DEC =60°=∠BCD，

∴ BC//DE，

∴∠CBE=∠DEO，

∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.

故④正确.

⑤过C作于M，于N，

∵△ACD△BCE，

∴，BE=AD，

∴

∴CM=CN，

∴OC平分∠AOE，故⑤正确；

故答案为①③④⑤.